Topologie - Einführung

Definition

Ein topologischer Raum ist ein geordnetes Paar $(X, 𝒯)$ , für das gilt:

$\emptyset, X \in 𝒯$
$O_{i} \subseteq 𝒯, i \in I \Rightarrow ⋃_{i \in I} O_{i} \in 𝒯$
$O_{0}, ..., O_{n} \in 𝒯 \Rightarrow O_{0} ⋂ ... ⋂ O_{n} \in 𝒯$

Dabei bezeichnet man

O_{i}

als offene Mengen und

𝒯

als Topologie auf X.

Eigenschaft einer Menge, ein topologischer Raum zu sein, als einstelliges Prädikat

$φ_{𝒯} (X) : = \exists 𝒯 (𝒯 \subseteq 𝒫 (X) \land X \in 𝒯 \land$ $(\forall O \subseteq 𝒯 \to ⋃ O \in 𝒯) \land$ $\forall O_{0} O_{1} (O_{0} \in 𝒯 \land O_{1} \in 𝒯 \to O_{0} ⋂ O_{1} \in 𝒯))$
Das Prädikat prüft nur, ob zu einer Menge $X$ Mengen $𝒯$ existieren, die die Eigenschaft einer Topologie auf $X$ erfüllen.

Topolgie - Eine Einführung

Definition

Eigenschaft einer Menge, ein topologischer Raum zu sein, als einstelliges Prädikat